Равновесие механической системы — это состояние, при котором все точки механической системы находятся в покое по отношению к рассматриваемой системе отсчета. Если система отсчета инерциальна, равновесие называется абсолютным , если неинерциальна — относительным .
Для нахождения условий равновесия абсолютно твердого тела необходимо мысленно разбить его на большое число достаточно малых элементов, каждый из которых можно представить материальной точкой. Все эти элементы взаимодействуют между собой — эти силы взаимодействия называются внутренними . Помимо этого на ряд точек тела могут действовать внешние силы.
Согласно второму закону Ньютона , чтобы ускорение точки равнялось нулю (а ускорение покоящейся точки равно нулю), геометрическая сумма сил, действующих на эту точку, должна быть равна нулю. Если тело находится в покое, значит, все его точки (элементы) также находятся в покое. Следовательно, для любой точки тела можно записать:
где — геометрическая сумма всех внешних и внутренних сил, действующих на i -й элемент тела.
Уравнение означает, что для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент этого тела, была равна нулю.
Из легко получить первое условие равновесия тела (системы тел). Для этого достаточно просуммировать уравнение по всем элементам тела:
.
Вторая сумма равна нулю согласно третьему закону Ньютона : векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, т. к. любой внутренней силе соответствует сила, равная по модулю и противоположная по направлению.
Следовательно,
.
Первым условием равновесия твердого тела (системы тел) является равенство нулю геометрической суммы всех внешних сил, приложенных к телу.
Это условие является необходимым, но не достаточным. В этом легко убедиться, вспомнив о вращающем действии пары сил, геометрическая сумма которых тоже равна нулю.
Вторым условием равновесия твердого тела является равенство нулю суммы моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно любой оси.
Таким образом, условия равновесия твердого тела в случае произвольного числа внешних сил выглядят так:
.
Рассмотрю материальную точку, движение которой ограничено таким образом, что она имеет лищь одну степень свободы.
Это означает, что ее положение может быть определено с помощью одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести шарик, скользящий без трения по укрепленной неподвижно, изогнутой в вертикальной плоскости проволоке (рис. 26.1, а).
Другим примером может служит прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий без трения до горизонтальной направляющей (рис. 26.2, а).
На шарик действует консервативная сила: в первом случае это сила тяжести, во втором - упругая сила деформированной пружины. Графики потенциальной энергии показаны на рис. 26.1, б и 26.2, б.
Поскольку шарики движутся по проволоке без трения, сила, с которой проволока действует на шарик, в обоих случаях перпендикулярна к скорости шарика и, следовательно, работы над шариком не совершает. Поэтому имеет место сохранение энергии:
Из (26.1) следует, что, кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потешдаалыюй энергии. Поэтому, если шарик находится в таком состоянии, что его скорость равна нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне он не сможет прийти в движение, т. е. будет находиться в равновесии.
Минимумам U соответствуют на графиках значения равные (на рис. 26.2 есть длина недеформированной дружины) Условие минимума потенциальной энергии имеет вид
В соответствии t (22.4) условие (26.2) равнозначно тому, что
(в случае, когда U является функцией только одной переменной, ). Таким образом, положение, соответствующее минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что сила, действующая на тело, равна нулю.
В случае, - изображенном на рис. 26.1, условия (26.2) и (26.3) выполняются также для х, равного (т. е. для максимума U). Определяемое этим значением положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при будет неустойчивым: достаточно слегка вывести, шарик из этого положения как возникает сила, которая будет удалять шарик от положения . Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого ), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.
Зная вид t функции, которой выражается потенциальная энергия, можно сделать ряд заключений о характере движения частищл. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. 26.1, б. Если полная энергия имеет значение, указанное На рисунке, то частица может совершать движение либо в пределах от до либо в пределах от до бесконечности. В области частица проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может, стать больше полной энергии (если бы это случилось, то кинетическая энергия стала бы отрицательной). Такрм образом, область представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Область называется потенциальной ямой.
Если частица при своем движении не может удалиться на бесконечность, движение называется финитным. Если же частица может уходить сколь угодно далеко, движение называют инфинитным. Частица в потенциальной яме совершает финитное движение. Финитным будет также движение частицы с отрицательной полной энергией в центральном поле сил притяжения (предполагается, что потенциальная энергия обращается в нуль на бесконечности).
Равновесием механической системы называют такое её состояние, при котором все точки рассматриваемой системы покоятся по отношению к выбранной системе отсчета.
Моментом силы относительно какой‑либо оси называют произведение величины этой силы F на плечо d.
Проще всего выяснить условия равновесия на примере простейшей механической системы - материальной точки. Согласно первому закону динамики (см. Механика), условием покоя (или равномерного прямолинейного движения) материальной точки в инерциальной системе координат является равенство нулю векторной суммы всех приложенных к ней сил.
При переходе к более сложным механическим системам одного этого условия для их равновесия оказывается недостаточно. Кроме поступательного движения, к которому приводят нескомпенсированные внешние силы, сложная механическая система может совершать вращательное движение или деформироваться. Выясним условия равновесия абсолютно твердого тела - механической системы, состоящей из собрания частиц, взаимные расстояния между которыми не изменяются.
Возможность поступательного движения (с ускорением) механической системы можно устранить так же, как и в случае с материальной точкой, потребовав равенства нулю суммы сил, приложенных ко всем точкам системы. Это и есть первое условие равновесия механической системы.
В нашем случае твердое тело деформироваться не может, поскольку мы условились, что взаимные расстояния между его точками не изменяются. Но в отличие от материальной точки к абсолютно твердому телу можно приложить пару равных и противоположно направленных сил в разных его точках. При этом поскольку сумма этих двух сил равна нулю, то рассматриваемая механическая система поступательного движения совершать не будет. Однако очевидно, что под действием такой пары сил тело начнет вращаться относительно некоторой оси со всевозрастающей угловой скоростью.
Возникновение в рассматриваемой системе вращательного движения обусловлено наличием нескомпенсированных моментов сил. Моментом силы относительно какой‑либо оси называется произведение величины этой силы $F$ на плечо $d,$ т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки $O$ (см. рис.), через которую проходит ось, на направление силы. Отметим, что момент силы при таком определении - алгебраическая величина: он считается положительным, если сила приводит к вращению против часовой стрелки, и отрицательным - в противном случае. Таким образом, второе условие равновесия твердого тела заключается в требовании равенства нулю суммы моментов всех сил относительно любой оси вращения.
В случае, когда оба найденных условия равновесия выполнены, твердое тело будет пребывать в состоянии покоя, если в момент начала действия сил скорости всех его точек были равны нулю. В противном случае оно будет совершать равномерное движение по инерции.
Рассмотренное определение равновесия механической системы ничего не говорит о том, что произойдет, если система чуть‑чуть выйдет из положения равновесия. При этом имеется три возможности: система вернется в свое прежнее состояние равновесия; система, несмотря на отклонение, не изменит своего состояния равновесия; система выйдет из состояния равновесия. Первый случай называют устойчивым состоянием равновесия, второй - безразличным, третий - неустойчивым. Характер положения равновесия определяется зависимостью потенциальной энергии системы от координат. На рисунке показаны все три типа равновесия на примере тяжелого шарика, находящегося в углублении (устойчивое равновесие), на гладком горизонтальном столе (безразличное), на вершине бугорка (неустойчивое).
Изложенный выше подход к проблеме равновесия механической системы рассматривался учеными еще в древнем мире. Так, закон равновесия рычага (т. е. твердого тела с закрепленной осью вращения) был найден Архимедом в III в. до н. э.
В 1717 г. Иоганн Бернулли разработал совершенно иной подход к нахождению условий равновесия механической системы - метод виртуальных перемещений. В основе его лежит вытекающее из закона сохранения энергии свойство сил реакций связей: при малом отклонении системы от положения равновесия полная работа сил реакций связей равна нулю.
При решении задач статики (см. Механика) на основании описанных выше условий равновесия существующие в системе связи (опоры, нити, стержни) характеризуются возникающими в них силами реакции. Необходимость учета этих сил при определении условий равновесия в случае систем, состоящих из нескольких тел, приводит к громоздким расчетам. Однако благодаря равенству нулю работы сил реакции связей при малых отклонениях от положения равновесия можно избежать рассмотрения этих сил вообще.
Кроме сил реакции на точки механической системы действуют и внешние силы. Какова их работа при малом отклонении от положения равновесия? Так как система первоначально покоится, то для любого её перемещения необходимо совершить некоторую положительную работу. В принципе эту работу могут совершать как внешние силы, так и силы реакции связей. Но, как мы уже знаем, полная работа сил реакции равна нулю. Поэтому для того, чтобы система вышла из состояния равновесия, суммарная работа внешних сил при любом возможном перемещении должна быть положительной. Следовательно, условие невозможности движения, т. е. условие равновесия, можно сформулировать как требование неположительности полной работы внешних сил при любом возможном перемещении: $ΔA≤0.$
Допустим, что при перемещениях точек системы $Δ\overrightarrow{γ}_1…\ Δ\overrightarrow{γ}_n$ сумма работ внешних сил оказалась равной $ΔA1.$ А что произойдет, если система совершит перемещения $−Δ\overrightarrow{γ}_1,−Δ\overrightarrow{γ}_2,\ …,−Δ\overrightarrow{γ}_n?$ Эти перемещения возможны так же, как и первые; однако работа внешних сил теперь изменит знак: $ΔA2 =−ΔA1.$ Рассуждая аналогично предыдущему случаю, мы придем к выводу, что теперь условие равновесия системы имеет вид: $ΔA1≥0,$ т. е. работа внешних сил должна быть неотрицательной. Единственная возможность «примирить» два этих почти противоречивых условия - потребовать точного равенства нулю полной работы внешних сил при любом возможном (виртуальном) перемещении системы из положения равновесия: $ΔA=0.$ Под возможным (виртуальным) перемещением тут подразумевается бесконечно малое мысленное перемещение системы, которое не противоречит наложенным на неё связям.
Итак, условие равновесия механической системы в виде принципа виртуальных перемещений формулируется следующим образом:
«Для равновесия любой механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ действующих на систему сил при любом возможном перемещении была равна нулю».
С помощью принципа виртуальных перемещений решаются задачи не только статики, но и гидростатики, и электростатики.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Устойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение.
Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. Например, шарик, лежащий на дне сферического углубления (рис.1 а).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неустойчивое равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.
В данном случае при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Примером может служить шарик, находящийся в верхней точке выпуклой сферической поверхности (ри.1 б).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Безразличное равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения (состояния).
В этом случае при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю. Например, шарик, лежащий на плоской поверхности (рис.1,в).
Рис.1. Различные типы равновесия тела на опоре: а) устойчивое равновесие; б) неустойчивое равновесие; в) безразличное равновесие.
Если в результате действия сил тело не получает ускорения, оно может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно прямолинейно. Поэтому можно говорить о статическом и динамическом равновесии.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Статическое равновесие - это такое равновесие, когда под действием приложенных сил тело находится в состоянии покоя.
Динамическое равновесие - это такое равновесие, когда по действием сил тело не изменяет своего движения.
В состоянии статического равновесия находится подвешенный на тросах фонарь, любое строительное сооружение. В качестве примера динамического равновесия можно рассматривать колесо, которое катится по плоской поверхности при отсутствии сил трения.
Как следует из примера изучения колебательного движения материальной точки, собственное движение системы вызывается упругой силой. Ранее было показано, что упругая сила принадлежит к потенциальному силовому полю. Следовательно, переходя к изучению собственных колебательных движений механических систем, следует предположить, что такие движения вызываются силами потенциального поля. Отсюда, если система обладает s степенями свободы, то обобщенные силы ее запишутся через силовую функцию U или потенциальную энергию П в виде:
Как следует из изучения движения точки, колебания ее происходят около положения равновесия. Колебательное движение системы также будет происходить около положения ее равновесия, которое характеризуется условиями.
Эти условия указывают на то, что колебательные движения системы могут происходить около положений, характеризуемых относительным экстремумом силовой функции или потенциальной энергии системы. Однако не около всякого положения равновесия возможно колебательное движение системы.
Пусть механическая система состоит из материальных точек, которые находятся в равновесии под действием приложенных к ним сил. Дадим точкам этой системы малые отклонения от положения равновесия и малые начальные скорости. Тогда система придет в движение. Если во все время, следующее за нарушением равновесия, точки системы остаются в непосредственной близости к своему равновесному положению, то это положение называется устойчивым. В противном случае равновесие системы называется неустойчивым. Говорить о колебаниях системы можно только в том случае, когда эти колебания происходят около положения устойчивого равновесия. Если положение системы неустойчиво, т. е. если при малом отклонении от положения равновесия и малых скоростях система отходит от него еще дальше, то нельзя говорить о колебаниях системы вблизи этого положения. Следовательно, изучение колебаний системы следует начать с установления критерия устойчивости равновесия механической системы.
Критерий устойчивости равновесия консервативной системы устанавливает теорема Лагранжа - Дирихле, которая состоит в следующем: если механическая система обладает стационарными связями и консервативна и если в положении равновесия этой системы ее потенциальная энергия имеет минимум (т. е. силовая функция имеет максимум), то равновесие системы является устойчивым.
Докажем эту теорему. Пусть положение механической системы определяется обобщенными координатами которые отсчитываются от положения равновесия. Тогда в этом положении будем иметь:
Величины можно рассматривать как координаты точки в -мерном пространстве. Тогда каждому положению системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. В частности, положению равновесия будет соответствовать начало координат О.
Потенциальную энергию П будем отсчитывать от положения равновесия, полагая, что в этом положении что не нарушает общности рассуждений, так как потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной.
Зададимся каким-нибудь положительным числом и опишем из точки О сферу радиуса . Область, ограничиваемую этой сферой, обозначим через Число будем считать произвольным, но достаточно малым. Тогда для любой точки на границе области D будет выполняться неравенство:
так как в точке О функция П равна нулю и имеет минимум.
Пусть наименьшее значение П на границе области D равно Р. Тогда для любой точки, принадлежащей этой границе, будем иметь
Выведем теперь систему из положения равновесия, сообщив ее точкам столь малые начальные отклонения и столь малые начальные скорости, чтобы выполнялись неравенства:
где - начальные значения потенциальной и кинетической энергии. Тогда будем иметь:
Но при дальнейшем движении системы в силу закона сохранения механической энергии, который справедлив для консервативных систем со стационарными связями, будет выполняться равенство.
