Рассмотрим примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
1) Проинтегрировать дифференциальное уравнение: (1+x²)dy-2xydx=0.
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, записанное в виде
Оставляем слагаемое с dy в левой части уравнения, с dx — переносим в правую часть:
(1+x²)dy = 2xydx
Разделяем переменные, то есть в левой части оставляем только dy и все, что содержит y, в правой dx и x. Для этого обе части уравнения делим на (1+x²) и на y. Получаем
Интегрируем обе части уравнения:
В левой части — табличный интеграл. Интеграл в правой части можно найти, например, сделав замену t=1+x², тогда
dt=(1+x²)’dx=2xdx.
В примерах, где есть возможность провести потенцирование, то есть убрать логарифмы, удобно брать не С, а lnC. Именно так мы и сделаем: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, то ln│y│=ln│Сt│, откуда y=Ct. Делаем обратную замену,и получаем общее решение: y=C(1+x²).
Мы делили на 1+x² и на y при условии, что они не равны нулю. Но 1+x² не равно нулю при любых x. А y=0 при С=0, таким образом, потери корней не произошло.
Ответ: y=C(1+x²).
2) Найти общий интеграл уравнения
Переменные можно разделить.
Умножаем обе части уравнения на dx и делим на
Получаем:
Теперь интегрируем
В левой части — табличный интеграл. Справа — делаем замену 4-x²=t, тогда dt=(4-x²)’dx=-2xdx. Получаем
Если вместо С взять 1/2 ln│C│, можно ответ записать более компактно:
Умножим обе части на 2 и применим свойство логарифма:
Мы делили на
Они не равны нулю: y²+1 — так как сумма неотрицательных чисел не равна нулю, а подкоренное выражение не равно нулю по смыслу условия. Значит, потери корней не произошло.
3) a) Найти общий интеграл уравнения (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.
б) Найти частный интеграл этого уравнения, удовлетворяющий начальному условию y(е)=1.
а) Преобразуем левую часть уравнения: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, затем
y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Делим обе части на x²y² при условии, что ни x, ни y не равны нулю. Получаем:
Интегрируем уравнение:
Так как разность логарифмов равна логарифму частного, имеем:
Это — общий интеграл уравнения. В процессе решения мы ставили условие, что произведение x²y² не равно нулю, откуда следует, что x и y не должны быть равными нулю. Подставив x=0 и y=0 в условие:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 получаем верное равенство 0=0. Значит, x=0 и y=0 тоже являются решениями данного уравнения. Но в общий интеграл они не входят ни при каких С (нули не могут стоять под знаком логарифма и в знаменателе дроби), поэтому эти решения следует записать дополнительно к общему интегралу.
б) Так как y(е)=1, подставляем в полученное решение x=e, y=1 и находим С:
Примеры для самопроверки:
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n – го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида
где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальное» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин – «обыкновенное» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.
Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые ее производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n- го порядка. Например
а) – уравнение первого порядка;
б) – уравнение третьего порядка.
При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:
в) – уравнение второго порядка;
г) – уравнение первого порядка,
образующее после деления на dx эквивалентную форму задания уравнения: .
Функция называется решением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество.
Например, уравнение 3-го порядка
Имеет решение .
Найти тем или иным приемом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка, причем число констант совпадает с порядком уравнения: Общее решение может быть, и не разрешено явно относительно y(x) : В этом случае решение принято называть общим интегралом уравнения (1.1).
Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение: , причем второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная , делённая на 2, может быть заменена новой произвольной постоянной .
Задавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных постоянных, а следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при (1.2)
В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причем, общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.
Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка (n =1) имеет вид: или, если его удается разрешить относительно производной: . Общее решение y=y(x,С) или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядка позволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом, будет найдено частное решение или, что тоже, будет решена задача Коши. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива теорема, принимаемая здесь без доказательства.
Теорема 2.1. Если в уравнении функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости XOY , и в этой области задана точка , то существует и притом единственное решение , удовлетворяющее как уравнению , так и начальному условию .
Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY , не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C . Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точке тангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке: . Другими словами, уравнение задается в плоскости XOY поле направлений касательных к интегральным кривым. Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнение и так называемое уравнение в симметрической форме .
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)
или уравнение вида (3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0 . Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.
Решить уравнение: .
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получаем
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
СодержаниеПусть s(x)
,
q(x)
- функции от переменной x
;
p(y)
,
r(y)
- функции от переменной y
.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными - это уравнение вида
Рассмотрим уравнение:
(i) .
Выразим производную y′
через дифференциалы.
;
.
Умножим на dx
.
(ii)
Разделим уравнение на s(x)
r(y)
.
Это можно сделать, если s(x)
r(y) ≠ 0
.
При s(x)
r(y) ≠ 0
имеем
.
Интегрируя, получаем общий интеграл в квадратурах
(iii) .
Поскольку мы делили на s(x)
r(y)
,
то получили интеграл уравнения при s(x) ≠ 0
и r(y) ≠ 0
.
Далее нужно решить уравнение
r(y) = 0
.
Если это уравнение имеют корни, то они также являются решениями уравнения (i). Пусть уравнение r(y) = 0
.
имеет n
корней a i
,
r(a i ) = 0
,
i = 1, 2, ... ,
n
.
Тогда постоянные y = a i
являются решениями уравнения (i). Часть этих решений может уже содержаться в общем интеграле (iii).
Заметим, что если исходное уравнение задано в форме (ii), то следует также решить уравнение
s(x) = 0
.
Его корни b j
,
s(b j ) = 0
,
j = 1, 2, ... ,
m
.
дают решения x = b j
.
Решить уравнение
Выразим производную через дифференциалы:
Умножим на dx
и разделим на .
При y ≠ 0
имеем:
Интегрируем.
Вычисляем интегралы, применяя формулу .
Подставляя, получаем общий интеграл уравнения
.
Теперь рассмотрим случай, y = 0
.
Очевидно, что y = 0
является решением исходного уравнения. Оно не входит в общий интеграл .
Поэтому добавим его в окончательный результат.
; y = 0 .
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Рассмотрен способ решения дифференциальных уравнений, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.
СодержаниеРассмотрим дифференциальное уравнение
(i)
,
где f
- функция, a, b, c
- постоянные, b ≠ 0
.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Делаем подстановку:
u = ax + by + c
Здесь y
- функция от переменной x
.
Поэтому u
- тоже функция от переменной x
.
Дифференцируем по x
u′ = (ax + by + c)′
= a + by′
Подставляем (i)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c)
=
a + b f(u)
Или:
(ii)
Разделяем переменные. Умножаем на dx
и делим на a + b f(u)
.
Если a + b f(u) ≠ 0
,
то
Интегрируя, мы получаем общий интеграл исходного уравнения (i)
в квадратурах:
(iii)
.
В заключении рассмотрим случай
(iv)
a + b f(u) = 0
.
Предположим, что это уравнение имеет n
корней u = r i
,
a + b f(r i ) = 0
,
i = 1, 2, ...
n
.
Поскольку функция u = r i
является постоянной, то ее производная по x
равна нулю. Поэтому u = r i
является решением уравнения (ii)
.
Однако, уравнение (ii)
не совпадает с исходным уравнением (i)
и, возможно, не все решения u = r i
,
выраженные через переменные x
и y
,
удовлетворяют исходному уравнению (i)
.
Таким образом, решением исходного уравнения является общий интеграл (iii) и некоторые корни уравнения (iv) .
Решить уравнение
(1)
Делаем подстановку:
u = x - y
Дифференцируем по x и выполняем преобразования:
;
Умножаем на dx
и делим на u 2
.
Если u ≠ 0
, то получаем:
Интегрируем:
Применяем формулу из таблицы интегралов :
Вычисляем интеграл
Тогда
;
,
или
Общее решение:
.
Теперь рассмотрим случай u = 0
, или u = x - y = 0
,
или
y = x
.
Поскольку y′ = (x)′ = 1
,
то y = x
является решением исходного уравнения (1)
.
;
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Дифференциальное уравнение
с разделенными переменными записывается
в виде:
(1).
В этом уравнении
одно слагаемое зависит только от x,
а другое – от y.
Проинтегрировав почленно это уравнение,
получаем:
–
его общий интеграл.
Пример
:
найти общий интеграл уравнения:
.
Решение: данное уравнение
– дифференциальное уравнение с
разделенными переменными. Поэтому
или
Обозначим
.
Тогда
–
общий интеграл дифференциального
уравнения.
Уравнение с разделяющимися
переменными имеет вид
(2).
Уравнение (2)легко сводиться к
уравнению (1) путем почленного деления
его на
.
Получаем:
–
общий интеграл.
Пример: Решить уравнение .
Решение: преобразуем левую
часть уравнения:
.
Делим обе части уравнения на
Решением является выражение:
т.е.
Уравнение вида
называетсяоднородным
,
если
и
–
однородные функции одного порядка
(измерения). Функция
называется
однородной функцией первого порядка
(измерения), если при умножении каждого
ее аргумента на произвольный множительвся функция умножиться на,
т.е.
=
.
Однородное уравнение может быть приведено
к виду
.
С помощью подстановки
(
)однородное
уравнение приводится к уравнению с
разделяющимися переменными по отношению
к новой функции.
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется линейным
, если
его можно записать в виде
.
Метод Бернулли
Решение уравнения
ищется в виде произведения двух других
функций, т.е. с помощью подстановки
(
).
Пример:
проинтегрировать уравнение
.
Полагаем
.
Тогда
,
т.е.
.
Сначала решаем уравнение
=0:
.
Теперь решаем уравнение
т.е.
.
Итак, общее решение данного уравнения
есть
т.е.
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
,
где
называетсяуравнением Бернулли.
Данное
уравнение решается с помощью метода
Бернулли.
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1) , гдеипостоянны.
Частные решения уравнения (1) будем
искать в виде
,
гдек
– некоторое число. Дифференцируя
эту функцию два раза и подставляя
выражения для
в
уравнение (1), получимт.е.или
(2)
(
).
Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.
При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.
Случай 1.
Корнииуравнения (2) действительные и различные:
и
.
Случай 2.
Корнииуравнения (2) действительные и равные:
.
В этом случае частными решениями
уравнения (1) являются функции
и
.
Следовательно, общее решение уравнения
(1) имеет вид
.
Случай 3.
Корнииуравнения (2) комплексные:
,
.
В этом случае частными решениями
уравнения (1) являются функции
и
.
Следовательно, общее решение уравнения
(1) имеет вид
Пример.
Решить уравнение
.
Решение:
составим характеристическое
уравнение:
.
Тогда
.
Общее решение данного уравнения
.
Экстремум функции нескольких переменных
Определение.
Точка
М (х
о
,у
о
)
называется
точкой
максимума (минимума)
функции
z
=
f
(x
,
у), если существует окрестность точки
М, такая, что для всех точек {х, у) из этой
окрестности выполняется неравенство
(
)
На рис. 1 точка А
-
есть точка минимума, а точка В
-
точка максимума.
Необходимое условие экстремума - многомерный аналог теоремы Ферма.
Теорема.
Пусть
точка
–
есть точка экстремума дифференцируемой
функции
z
=
f
(x
,
у). Тогда частные производные
и
в
этой точке равны нулю.
Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции z = f (x , у), т.е. частные производные z " x и z " y равны нулю, называются критическими или стационарными.
Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
На рис. изображена так
называемая седловая
точка М (х
о
,у
о
).
Частные производные
и
равны
нулю, но, очевидно, никакого экстремума
в точке М(х
о
,у
о
)
нет.
Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.
Теорема (достаточное
условие экстремума функции двух
переменных).
Пусть
функция
z
=
f
(x
,
у):
а) определена
в некоторой окрестности критической
точки (х
о
,у
о
),
в которой
=0
и
=0
;
б) имеет
в этой точке непрерывные частные
производные второго порядка
;
;
Тогда, если ∆=АС- В
2
>0, то
в точке (х
о
,у
о
)
функция
z
=
f
(x
,
у) имеет экстремум, причем если
А<0
- максимум, если
А>0
- минимум. В случае
∆=АС- В
2
<0,
функция
z
=
f
(x
,
у) экстремума не имеет. Если ∆=АС-
В
2
=0,
то вопрос о наличии экстремума
остается открытым.
Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:
Найти частные производные функции z " x и z " y .
Решить систему уравнений z " x =0, z " y =0 и найти критические точки функции.
Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Пример.
Найти
экстремумы функции
Решение. 1. Находим частные производные
2. Критические точки функции находим из системы уравнений:
имеющей четыре решения (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).
3. Находим частные производные второго порядка:
;
;
,
вычисляем их значения в каждой критической
точке и проверяем в ней выполнение
достаточного условия экстремума.
Например, в точке (1; 1) A = z "(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆ = АС- В 2 = (-1) 2 -0=1 >0 и А=-1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.
Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) - точка минимума, а в точках (1; -1) и (-1; 1), в которых ∆ =АС- В 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.
4. Находим экстремумы функции z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.
Пусть рассматривается функция z = f (x , y ), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравнением связи.
Определение.
Точка
называется точкой
условного
максимума (минимума),
если
существует такая окрестность этой
точки, что для всех точек (х,у) из этой
окрестности удовлетворяющих условию
g
(x
,
y
)
= С, выполняется неравенство
(
).
На рис. изображена точка
условного максимума
.
Очевидно, что она не
является точкой безусловного экстремума
функции z
= f
(x
,
y
)
(на рис. это точка
).
Наиболее простым способом
нахождения условного экстремума
функции двух переменных является
сведение задачи к отысканию экстремума
функции одной переменной. Допустим
уравнение связи g
(x
,
y
)
= С
удалось разрешить
относительно одной из переменных,
например, выразить у
через х:
.
Подставив полученное
выражение в функцию двух переменных,
получим z
= f
(x
,
y
)
=
,
т.е. функцию одной
переменной. Ее экстремум и будет условным
экстремумом функции z
=
f
(x
,
y
).
Пример. х 2 + y 2 при условии 3х +2у = 11.
Решение. Выразим из уравнения
3х +2у = 11
переменную y
через переменную x
и подставим полученное
в функциюz.
Получим z
=
x
2
+2
илиz
=
.
Эта функция имеет
единственный минимум при
=
3. Соответствующее
значение функции
Таким образом, (3; 1) - точка условного
экстремума (минимума).
В рассмотренном примере уравнение связи g (x , у) = С оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных
Эта функция называется функцией Лагранжа, а - множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.
Теорема.
Если
точка
является
точкой условного экстремума функции
z
=
f
(x
,
y
)
при условии
g
(x
,
y
)
= С, то существует значение
такое,
что точка
является
точкой экстремума функции
L
{
x
,
y
,
).
Таким образом, для нахождения условного экстремума функции z = f (х,у) при условии g (x , y ) = С требуется найти решение системы
На рис. показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g (x , y ) = Q функции z = f (x , y ) сплошные.
Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f (x , y ) касается линии g (x , y ) = С.
Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х 2 + y 2 при условии 3х +2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составляем
функцию Лагранжа L
= х
2
+ 2у
2
+
Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений
Ее единственное решение (х=3, у=1, =-2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция z = f (x , y ) имеет условный минимум.